Analysis 2 by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

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H. D j Di f = Di D j f . 2. A. Schwarz sagt jedoch, dass es bei stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf die Reihenfolge der Differentiation nicht ankommt. § 5 Partielle Ableitungen 55 Satz 1 (Schwarz). Sei U ⊂ Rn offen und f :U → R eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt f¨ur alle a ∈ U und alle i, j = 1, 2, . , n D j Di f (a) = Di D j f (a). Beweis. Es bedeutet keine Einschr¨ankung der Allgemeinheit anzunehmen, dass n = 2, i = 1, j = 2 und a = 0. Statt (x1 , x2 ) schreiben wir zur Vereinfachung (x, y).

4 I. Differentialrechnung im Rn 40 Schnittwinkel Seien f : I1 → Rn und g : I2 → Rn zwei regul¨are Kurven. F¨ur die Parameterwerte t1 ∈ I1 und t2 ∈ I2 gelte f (t1 ) = g(t2). 5. Der Winkel ϑ ist also bestimmt durch die Gleichung cos ϑ = f (t1), g (t2) f (t1) · g (t2) g (t2 ) f ϑ mit 0 π. 5 Bogenl¨ange Sei [a, b] ⊂ R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] → Rn eine Kurve. Unterteilt man das Intervall a = t0 < t1 < . . < t k = b und verbindet die Punkte f (ti−1) mit f (ti ), f¨ur i = 1, 2, .

6 der Feinheit < δ gilt |p f (t0, . . ,tk ) − L| < ε. Satz 1. Jede stetig differenzierbare Kurve f : [a, b] → Rn ist rektifizierbar, und f¨ur ihre L¨ange L gilt L= Z b a f (t) dt. Bemerkung. Die stetige Differenzierbarkeit ist nicht notwendig daf¨ur, dass eine Kurve rektifizierbar ist. Es gibt jedoch stetige Kurven, die nicht rektifizierbar sind. Zum Beweis von Satz 1 ben¨otigen wir einen Hilfssatz. Hilfssatz. Sei f : [a, b] → Rn stetig differenzierbar. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f (t) − f (τ) − f (t) t −τ ε f¨ur alle t, τ ∈ [a, b] mit 0 < |t − τ| δ.

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Analysis 2 by Otto Forster

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